O que é Black and Scholes, origem do modelo e como calcular

Você já ouviu falar do modelo Black and Scholes e sua importância no mercado de derivativos?

Trata-se de uma fórmula que ajuda investidores a estimar os preços das opções e minimizar as incertezas em um ambiente de alta volatilidade. 

Assim, por meio da matemática avançada, é possível avaliar os contratos e decidir se vale a pena investir seu patrimônio em derivativos. 

Para aprender a utilizar o Black and Scholes nos seus investimentos, é importante que você já entenda o funcionamento das chamadas put e call.

Se você já domina o assunto, siga a leitura e avance ainda mais no conhecimento. 

O que é o Black and Scholes

Black and Scholes, ou Black & Scholes, é um dos modelos mais utilizados para precificação de opções no mercado de derivativos.

Basicamente, o modelo parte dos seguintes pressupostos:

• O preço do ativo subjacente (ação, moeda, commodity, etc.) é um processo estocástico (padrão indeterminado com origem em eventos aleatórios);
• É possível emprestar e tomar emprestado a uma taxa de juros livre de risco constante e conhecida (no caso do Brasil, a taxa Selic);
• O preço segue um movimento Browniano geométrico com tendência (drift) e volatilidade constantes, além do retorno médio esperado;
• Não há custos de transação;
• Não há pagamento de dividendos durante a vida do derivativo;
• Não existem condições de arbitragem (obter retorno sem risco).

Além disso, o Black and Scholes parte das opções do tipo “europeu”: aquelas que só podem ser exercidas na data do vencimento, e leva em consideração condições ideais de mercado.

No caso, a fórmula serve para calcular preços teóricos de opções (as conhecidas puts e calls) com base nos preços correntes de ações e outras variáveis.

Dessa forma, é possível utilizar o Black and Scholes para reduzir as incertezas e prever com mais segurança os preços finais dos contratos derivativos, de acordo com a volatilidade dos ativos. 

Origem do modelo de Black and Scholes

O Black and Scholes foi elaborado pelos cientistas Fisher Black e Myron Scholes no final da década de 1960, adaptando princípios físicos e matemáticos aos fenômenos financeiros. 

Assim, o modelo foi publicado oficialmente em 1973, em um artigo intitulado “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” (A precificação de opções e a responsabilidade corporativa).

Mais tarde, em 1997, os autores do Black & Scholes receberam o Prêmio Nobel de Economia pela solução encontrada. 

Como funciona o modelo Black and Scholes

O modelo Black and Scholes utiliza matemática avançada para descrever a dinâmica do preço do ativo subjacente a uma opção.

Basta pensar que seus autores se basearam nos modelos físicos de movimentação de partículas para calcular a oscilação dos preços, partindo da lógica dos processos estocásticos.

Estocástico, no caso, diz respeito a um processo no qual a variável muda ao longo do tempo de forma incerta, discreta ou contínua.

Por isso, a fórmula do Black and Scholes é construída para prever a volatilidade e retorno de uma determinada opção, como veremos a seguir.

Como calcular Black and Scholes

Para calcular o preço de uma opção seguindo o modelo de Black and Scholes, você vai precisar das seguintes variáveis:

• Preço de exercício da opção (strike);
• Preço atual do ativo;
• Prazo até o vencimento da opção;
• Taxa livre de risco do mercado;
• Volatilidade.

Esses dados deverão ser aplicados às fórmulas específicas para calcular puts e calls.

Para você ter uma ideia, esta é a fórmula de uma call:

E esta é a correspondência para uma put:

Para utilizar as fórmulas, considere as seguintes notações:

• C: preço da opção de compra;
• P: preço da opção de venda;
• N(.): a função de distribuição acumulada normal padrão;
• T-t (τ): evolução do tempo em anos;
• St: preço do derivativo em função do tempo e preço da ação;
• K: preço de exercício da opção;
• r: taxa de juros livre do risco anualizada (Selic);
• σ: volatilidade da ação.

Felizmente, você não precisa fazer esses cálculos manualmente, pois há várias opções de calculadoras e planilhas para facilitar a aplicação do modelo.

Assim, basta coletar as variáveis necessárias e utilizar a fórmula do Black and Scholes para estimar o preço de uma opção na data de vencimento.

O resultado mostrará se é vantajoso investir no contrato e exercer seu direito, ou se a operação não compensa. 

Além disso, o modelo contempla tanto opções de compra (calls) quanto opções de venda (put).

Entendeu como funciona o Black and Scholes?

Se você ainda tiver dúvidas sobre o mercado de opções e derivativos em geral, acompanhe os conteúdos da Capital Research para dominar as diferentes modalidades de investimento em renda variável.

Assim, você saberá como aproveitar ao máximo as ferramentas que ajudam a prever posições futuras e reduzir seus riscos.